とりあえずサポート範囲外の状態ではありますが、LinkStationでTimeMachineの設定をし直せるようになって数日、何十回かバックアップ作業が走りましたが特に問題はなく、今のところこのまま使っても良さそうだ、という結論になりました。
気のせいじゃないと思うんですけど、macOS Sierraのアップデートがかかってからパソコン再起動後のLinkStationの接続時に認証が走るようになって、その認証を通している限り特に問題はない感じに見えます。今までは認証自体走っていなかったと記憶しているので内部的に何かがあったんでしょう、多分。
このあたりWindowsだと必死になって原因を追求するところなんですが、macはもうブラックボックスなので「そういうものだ」で良いような気がしますし、調べた範囲では何もわからないので無理に調べる必要もないかな、と思います。それで愛着が薄くなるわけでもないですしね。